双曲线知识点归纳

高考双曲线知识点归纳

2．双曲线的标准方程及其几何性质

3.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为x?y?????0?，离心率为

2

2

，渐近线方程

为y??x（互相垂直）

2222

4.共轭双曲线：双曲线x?y?1(a?0,b?0)的共轭双曲线是y?x?1(a?0,b?0)，性质如下：

2222

abba

⑴双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；

⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆； ⑶双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为e1,e2,则有5.双曲线系:

11??

1和e1?e2?. 22e1e2

2222

⑴与双曲线x?y?1(a?0,b?0)共渐近线的双曲线系方程为x?y??(a?0,b?0，??0),它们的渐近线为

2222

abab

x2y2

??0(a?0,b?0) a2b2

22

⑵与双曲线x?y?1(a?0,b?0)共焦点的双曲线系方程为

22

ab

x2y2

?2?1(a?0,b?0,k??a2) 2

a?kb?k

6.点与双曲线的位置关系

2222

xyxy00⑴点P?x0,y0?在双曲线??1(a?0,b?0)内???1(a?0,b?0)

a2b2a2b22222

⑵点P?x0,y0?在双曲线x?y?1(a?0,b?0)上?x0?y0?1(a?0,b?0)

2222

aa

bb

ab

2222

⑶点P?x0,y0?在双曲线x?y?1(a?0,b?0)外?x0?y0?1(a?0,b?0)

2222

ab

7.直线与双曲线的位置关系

可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X（或Y）的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。

??有两个公共点 ??0

直线与双曲线相交??；

有一个公共点直线与渐近线平行????

直线与双曲线相切 ??0(只有一个公共点)； 直线与双曲线相离???0(无公共点)。

22xy若AB为双曲线??1(a?0，b?0)的弦,A?x1,y1?,B?x2,y2?,弦中点M?x0,y0?

a2b2

①弦长l?②kAB

1?x2?y1?y2?k?0? b2x0?2 ay0

b2x0

③直线AB的方程为:y?y0?2?x?x0?

ay0

a2y0

④直线AB的垂直平分线方程为: y?y0??2?x?x0?

bx0

8.焦点三角形：双曲线上的点P?x0,y0?与两焦点构成的的三角形称为焦点三角形。?F1PF2??，

PF1?r1,PF2?r2

?2b2?

⑴??arccos?1??

rr?12?1sin?2?

⑵S?PF1F2?r1r2sin??b?b2?cot?cy0

21?cos?2

双曲线典型题专练

双曲线定义

x2y2

??1表示双曲线”的 ( ) 2． 若k?R，则“k?3”是“方程

k?3k?3

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

x2y2

3.已知P是双曲线2??1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?y?0. 设F1、F2分别为

a9

双曲线的左、右焦点. 若PF2?3，则PF1?4．已知点M(?3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

y2y2y2y2222?1(x?1) B． x??1(x??1)C．x??1(x?1) ?1 ?x?0? D．x?A．x?

88810

2

x2y2

6．以知F是双曲线??1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PF?PA的最小值为412

y2

x??12222

7．P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆(x?4)?y?4和(x?4)?y?1上的点，则|PM|-|PN|15

2

的最大值为

x2y28．若方程??1 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

4?tt?1

①若C为椭圆，则1<t<4; ②若C为双曲线，则t>4或t<1； ③曲线C不可能是圆； ④若C表是椭圆，且长轴在x轴上，

其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）。 几何性质

x2y2x2y2

?=1有相同的焦点，11.已知双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)和椭圆且双曲线的离心率是椭圆离心率的两

ab169

倍，则双曲线的方程为 .

x2y2

12.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠

927

的平分线．则|AF214.设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足PF1：F1F2：PF2=4：3:2，则曲线I的

离心率等于

A．或

123 2

B．或2

23

C．或2 D．或

12233 2

x2y2y22

?1有公共的焦点，C2的一条渐近线与C1C2的长17.已知椭圆C1:2?2?1（a＞b＞0）与双曲线C2:x?

ab4

度为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则 （A） a2 =

131

（B） a2=13 （C） b2= (D) b2=2 22

?x2y2

18

．已知双曲线2??1(a?的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 （ ）

3a2

A

．

3

B

．

3

C

D．2

x2y2

19.设a?1，则双曲线2??1的离心率e的取值范围是 （ ） 2

a(a?1)

A

．

B

．

C．(2，5)

D

．(2

x2y2

20.设F1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则

ab

双曲线的离心率为 A．

35

B．2 C． D．3 22

x2y2

23.设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点

ab

M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）

D.

3

x2y2

24．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴，直线AB交

ab

????????

y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）

A

．

11 B

． C． D．2232

x2y2??1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点P(,y0)在25.已知双曲线

2b2

双曲线上.则PF12PF2＝( )

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

x2y2

26．设O为坐标原点，F1,F2是双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠

ab

F1PF2=60°，∣OP∣

,则该双曲线的渐近线方程为

（A）x

（B

±y=0 （C）x

=0 （D

±y=0

x2y2

27.已知双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且

ab

只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A．（1，2）

B．（－1，2）

C．（2，+∞） D．[2,??)

28．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y??

b

，x,(a?0,b?0)，若双曲线上有一点M（x0,y0）

a

使a|y0|?b|x0|，那么双曲线的交点（ ）

A.在x轴上 B.在y轴上 C.当a?b时在x轴上 D.当a?b时在y轴上 29．若方程x??1?a?x?1?a?b?0的两根分别为椭圆，双曲线的离心率，则

2

b

的取值范围是_______________ a

焦点三角形及直线与双曲线

x2y2

31．无论m为任何实数，直线l:y?x?m与双曲线C:??1?b?0?恒有公共点，则双曲线C的离心率为

2b2

_______________

22

32．直

线l:y?kx与双曲线x?y?1?x?0?交于不同两点，则直线l的倾斜角的范围是

?_______________

x2y2

33．设圆C的圆心在双曲线2??1(a?0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C

被直线l:x?0

a2

截得的弦长等于2，则a的值为（ ）

A

B

C．2 D．3

x2y2x2y2

34．若椭圆??1(m,n,p,q均为正数）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共?1与双曲线?

pqmn

点，则|PF1|?|PF2|等于_______________

?????????x22

35．设F1,F2是双曲线?y?1的两个焦点，P在双曲线上，当?PF1F2的面积为1时，PF1PF2的值等于

4

x2y2

36．设F1、F2分别为双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足

abPF2?F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A.3x?4y?0 B.3x?5y?0 C.4x?3y?0 D.5x?4y?0

x2y22222

37．点P是双曲线C1:2?2?1?a?0,b?0?与圆C2:x?y?a?b的一个交点，且2?PF1F2??PF2F1

ab

其中F1,F2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为______________

x2y2

38．设F1,F2是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的两个焦点，P在双曲线的右支上，且PF1?4PF2，则双曲

ab

线离心率的最大值为______________

x2y2

39．P为双曲线2-2=1（a,b>0）右支上一点，F1，F2分别是左右焦点，且焦距为2c，则△F1PF2的内切圆圆

ab

心的横坐标为______________

x2y2

40.在平面直角坐标系中,对于双曲线2?2?1?a?0,b?0?,有下面四个结论:①存在这样的点M,使得过M的

ab

任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点；②存在这样的点M,使得过点M可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点；③不存在这样的点M,使得过点M可以作三条直线与双曲线有且只有一个公共点；④存在这样的点M,使得过点M可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点；这四个结论中，正确的有________________

y2

41．过已知双曲线C：x??1的一个焦点作直线l与C交于A、B两点，若|AB|=d，根据d的大小判断直

3

线可能的条数：（1）若d?2，则这样的直线l ；（2）若2?d?6，则这样的直线l ；（3）若d?6，则这样的直线l 。（4）若d=2时则这样的直线l有 ；（5）若d=6时则这样的直线l

2

x2y2

42．已知A,B,P是双曲线2?2?1上不同的三点，且A,B连线经过坐标原点，若直线PA,PB的斜率乘积

ab

2

kPA?kPB?，则该双曲线的离心率为

3

22

43．过双曲线2x?y?2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4, 则这样的直线有( )

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

x2y2

44．已知F1,F2分别是双曲线2?2?1(a?b?0)的两个焦点，A和B是以O(O为坐标原点)为圆心，|OF1|

ab

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

2

2

1 45．双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1、F2，点Pn(xn,yn)(n?1,2,3?）在其右支上，且满足

|Pn?1F2|?|PnF1|,PF12?F1F2，则P20xxF2的值是

A．40202

B．40192

C．4020

D．4019

?????????x2y2

47．已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线2?2?1(a?0,b?0)左支上一点，且满足PF1?PF2?0,，

ab

tan?PF2F1?

A

2

，则此双曲线的离心率为 3

B

．

( )

2

C

D

x2y2

1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直48．已知点F是双曲线2－2＝

ab

线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．(1，＋∞)

B．(1，2)

C．(1，1

D．(2，1

第二篇：双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当MF?MF?2a时，则表示点M在双曲线左支上；

2

1

② 注意定义中的“（小于F1F2）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a=2c时，即MF?MF

1

2

?F1F2

2

,当MF

1

?MF2?F1F2

，动点轨迹是以F2为端点向

右延伸的一条射线；当MF

?MF1?F1F2

时，动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一

条射线；

若2a＞2c时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：

如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上； 如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.

对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点P(x0,y0)在双曲线 (2)点P(x0,y0)在双曲线

xaxa

2222

??

ybyb

2222

?1(a?0,b?0)的内部??1(a?0,b?0)的外部?

x0aax0

2222

??

y0bby0

2

22

?1. ?1.

2

4. 形如Ax?By?1(AB?0)的方程可化为

2

2

x

2

1A

?

y

2

1B

?1

当当

1A1A

?0,?0,

1B1B

?0，双曲线的焦点在y轴上； ?0，双曲线的焦点在x轴上；

5.求双曲线的标准方程，

应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

6. 离心率与渐近线之间的关系

e?

2

ca

22

?

a?ba

2

22

?1?

2

ba

22

ba

22

1）e?

?b?1???

?a?

2）

?

e?1

2

7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为

xa

22

?

ba

yb

22

?1?渐近线方程：

xa

?

yb

22

?0?y??xa

22

ba

x.

(2)若渐近线方程为y??(3)若双曲线与

2222

x?

xa

?

yb

?0?双曲线可设为

xaxax

222

?

yb

22

??.

xa

22

?

yb

22

?1有公共渐近线，可设为

?

ybyb

22

??（??0，焦点在x

轴上，??0，焦点在y轴上）. (4)与双曲线(5)与双曲线

xaxa??yb

2222

222

22

?1共渐近线的双曲线系方程是?1共焦点的双曲线系方程是

?

??(??0yb

a?k

?

y

2

2

b?k

?1

(6)当a?b时?离心率e?2?两渐近线互相垂直，分别为y=?x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2?y2??； 8. 双曲线的切线方程

22

22

(1)双曲线

xa

?

ybxa

?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是

x0xa

2

?

y0yb

2

?1.

22

（2）过双曲线是

x0xa

2

?

yb

22

?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程

?

y0yb

2

?1.

（3）双曲线

Ax?

B?y

xa

22

?

yb

22

?1(a?0,b?0)与直2

2

2

2

2

相切的条件是Aa?Bb?c0?C.

9. 直线与双曲线的位置关系

直线l：y?kx?m(m?0) 双曲线C：

?y?kx?m?2

2 ??xy

?2?2?1

b?a

xa

22

?

yb

22

?1（a＞0，b＞0）

(b?ak)x?2amkx?am?ab?0

ba

222222222

1) 当b2?a2k2?0，即k??曲线C相交于一点； 2) 当b2-a2k2≠0，即k

??

ba

时，直线l与双曲线的渐进线__，直线与双

时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)

① ??0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点

② ??0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③ ??0时，直线l与双曲线相离，无公共点

3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）

10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?m(m?0) 双曲线C：

① 联立方程法：

?y?kx?m?2

2 ??xy

?2?2?1

b?a

xa

22

?

yb

22

?1（a＞0，b＞0）

(b?ak)x?2amkx?am?ab?0

222222222

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出

y1?y2?kx1?m?kx2?m?k(x1?x2)?2m

y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m

2

2

，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

222

AB??kx1?x2??k(x1?x2)?4x1x2??k2

?a

或 AB??

1k

2

y1?y2?

1?

1k

2

(y1?y2)?4y1y2?

2

?k

2

?a

b. 中点M(x0,y0), x0?

② 点差法：

x1?x2

2

， y0?

y1?y2

2

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程，得

x1a

2

2

?

y1b

2

2

?1

x2a

2

2

?

y2b

2

2

?1

将两式相减，可得

(x1?x2)(x1?x2)

a

2

?

(y1?y2)(y1?y2)

b

2

y1?y2x1?x2

?

b(x1?x2)a(y1?y2)

2

2

b(x1?x2)a(y1?y2)

22

a. 在涉及斜率问题时，kAB?

AB

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段

y1?y2x1?x2

?

b2x0a2y0

2

的中点为M(x0,y0)，

2

2

?

bx0ay0

2

2

，

即kAB?

bx0ay0

2

，

btan

2

11. 焦点三角形面积公式：S?FPF

1

2

?

?

2

,(???F1PF2)。