初三圆知识点汇总

第五章圆 知识要点解析

知识点1 圆的有关概念

（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。 （2） （3） （4） （5）

弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。

弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。

【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点，形成半径。

⌒上，且

1．（20xx·玉林市、防城港市）如图1，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在 MN

⌒上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则不与M，N重合，当P点在MNAB的长度（ ）

Ａ．变大

Ｂ．变小

Ｃ．不变 Ｄ．不能确定

A

E

图2

2．（20xx江苏扬州）如图2，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．

3．如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD的延长线交于点E ，且AB＝2DE，∠E＝18°，求 ∠AOC的度数。

知识点2 圆的有关性质

（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。

(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半

②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。

【解题方法2】当弦长=R时，弦所对的圆心角=60°, 当弦长=2R时，弦所对的圆心角=90° 当弦长=3R时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。

用心 爱心 专心

1

【圆周角定理1的理解】①同弧所对的圆周角相等；②等弧所对的圆心角相等；③圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半；④圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；

【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。 【常作辅助线3】利用直径，构造直角。

4.（20xx白银）高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（ ）

A．5 B．7

C．

D．

737

37

图 4

B

图7

图

8

5.（20xx连云港）如图5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

（ ）

A．2cm

B．

C．

D．

6. 已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．

7.（20xx黄石）如图6，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，?BAC?50?，则?ADC? ． 8. （20xx湖北黄石）如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝ . ⌒

9.（20xx 黄冈）如图8，⊙O中，MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________

10. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：∠BAE=∠CAD

11．(20xx年温州)如图10，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是

知识点3 与圆有关的位置关系

（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ①点在圆内?d?r②点在圆上内?d?r③点在圆外?d?r （2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d

①直线与圆相交点在圆内?d?r②直线与圆相切点在圆内?d?r③直线与圆相离点在圆内

用心 爱心 专心

2

图9

图10

?d?r

（1）圆与圆的位置关系①两圆外离?d?R?r②两圆外切?d?R?r③两圆相交

?R?r?d?R?r④两圆内切?d?R?r⑤两圆内含?0?d?R?r

（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。 （4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。

（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。

（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。

【解题方法3】证切线的两种方法：①当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直②当直线与圆无交点字母时，作垂直，证d?r

【解题方法4】求线段的长：把要求的线段放进一个已知一边长的△中，再找一个已知三边长的△，证相似，运用比例线段计算。

【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。

【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。 【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。

12．（20xx·邵阳市）已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 13．（20xx 山东淄博）如图11，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有（ ）

A．①② B。①③④ C。②③④ D。①②③④ 14．（20xx仙桃）如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE． (1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．

A

C

图CF E O

B

图12

15．如图13，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？

16．已知如图14，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，点E为垂足，的延长线交AB于点F。求证：AC?AB?AF

2

BA

D

图13

用心 爱心 专心

3

17．如图15，△ABC中， I为内心，AI交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE，试说明：BE=EC=IE。

B

18．（20xx湖南长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1?2、r2?4，若两圆相交，则圆心距O1O2可E

图15

能取的值是（ ）．

A、2 B、4 C、6 D、8 知识点4 圆中的计算

n?R

（1）弧长公式：l?

180

（2）扇形面积：S?

n?R360

2

或 S?

12

lR

（3）圆锥的侧面积：S侧??rl（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）

【解题方法5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。 【解题方法6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。

19．（20xx·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若

圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是

（ ） A．R＝2r

B．R．R＝3r

D．R＝4r

20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______． (结果保留?) 21.（20xx浙江宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°.

(1)求⊙O的半径；

(2)求图中阴影部分的面积.

图

16

B图17

用心 爱心 专心 4

第二篇：初三圆知识点汇总

圆

知识点1 圆的有关概念

（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。 （2） 弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。

（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等） （4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。 【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点，形成半径。 ⌒上，且1．（20xx·玉林市、防城港市）如图1，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在 MN

⌒上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度不与M，N重合，当P点在MN（ ）

Ａ．变大

Ｂ．变小 Ｃ．不变 Ｄ．不能确定

A

E

图2

2．（20xx江苏扬州）如图2，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．

3．如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD的延长线交于点E ，且AB＝2DE，∠E＝18°，求 ∠AOC的度数。

知识点2 圆的有关性质

（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。

(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半

②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。

【解题方法2】当弦长=R时，弦所对的圆心角=60°, 当弦长=2R时，弦所对的圆心角=90° 当弦长=3R时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。

1

【圆周角定理1的理解】①同弧所对的圆周角相等；②等弧所对的圆心角相等；③圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半；④圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；

【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。 【常作辅助线3】利用直径，构造直角。

4.（20xx白银）高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（ ）

A．5 B．7

C．

D．

73737

B

图

8 图4 图7

5.（20xx连云港）如图5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）

A．2cm

B

C．

D．

6. 已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．

?

7.（20xx黄石）如图6，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，?BAC?50，则?ADC? ．

8. （20xx湖北黄石）如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝ . ⌒的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________ 9.（20xx 黄冈）如图8，⊙O中，MAN

10. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：∠BAE=∠CAD 图9 11．(20xx年温州)如图10，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是

知识点3 与圆有关的位置关系 图10 （1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d

①点在圆内?d?r②点在圆上内?d?r③点在圆外?d?r （2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d

①直线与圆相交点在圆内?d?r②直线与圆相切点在圆内?d?r③直线与圆相离点在圆内

2

?d?r

（1）圆与圆的位置关系①两圆外离?d?R?r②两圆外切?d?R?r③两圆相交

?R?r?d?R?r④两圆内切?d?R?r⑤两圆内含?0?d?R?r

（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。 （4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。

（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。

（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。

【解题方法3】证切线的两种方法：①当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直②当直线与圆无交点字母时，作垂直，证d?r

【解题方法4】求线段的长：把要求的线段放进一个已知一边长的△中，再找一个已知三边长的△，证相似，运用比例线段计算。

【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。

【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。 【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。 12．（20xx·邵阳市）已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能

13．（20xx 山东淄博）如图11，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有（ ）

A．①② B。①③④ C。②③④ D。①②③④ 14．（20xx仙桃）如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE． (1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．

C

图CF

B

A O

图12

15．如图13，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？

16．已知如图14，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，点E为垂足，2

的延长线交AB于点F。求证：AC?AB?AF

BA

图13

3

17．如图15，△ABC中， I为内心，AI交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE，试说明：BE=EC=IE。

B

18．（20xx湖南长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1?2、r2?4，若两圆相交，则圆心距O1O2可E

图15

能取的值是（ ）．

A、2 B、4 C、6 D、8

知识点4 圆中的计算 （1）弧长公式：l?

n?R

180

或 S?

n?R2

（2）扇形面积：S?

360

1lR 2

（3）圆锥的侧面积：S侧??rl（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）

【解题方法5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。 【解题方法6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。 19．（20xx·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若

圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是

（ ） A．R＝2r

B．R．R＝3r

D．R＝4r

20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______． (结果保留?)

21.（20xx浙江宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°.

(1)求⊙O的半径；

(2)求图中阴影部分的面积.

图

16

B图17

4

第三篇：初中数学圆的知识点总结

初中数学“圆”的知识点总结

发布者：贺雪峰 发布时间： 20xx-11-8 14:41:42

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

21、①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

35、①两圆外离 d＞R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r)

⑤两圆内含 d＜R-r(R＞r)

36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37、定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

39、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

42、正三角形面积√3a／4 a表示边长

43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，

因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

44、弧长计算公式：L=n兀R／180

45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)