加油,祝你成功--线性代数完美总结版

《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4) 按行展开：A?ai1Ai1?ai2Ai2?

按列展开：A?a1jA1j?a2jA2j?定理2.4 ai1Aj1?ai2Aj2?

?ainAin,i?1,2,?anjAnj,j?1,2,

,n ,n

?ainAjn?0,i?j； ?aniAnj?0,i?j.

a1iA1j?a2iA2j?

3、行列式的性质 (1) |A|?|AT|.

(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即

?1,,?j??j,,?n??1,,?j,,?n?1,,?j,,?n.

(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零. (3) 初等变换性质

1?ri?k

A????B?A?B;或ci?k?k??ri+lrj

??B?A?B; ?A???或cj+lci

?ri?rj

?B?A??B.?A????或ci?cj

??

4、行列式计算：三角化法(性质)；

降阶法(性质+展开定理)； 范德蒙德、三对角行列式的结论.

5、分块矩阵的行列式

AOACAO

???AB

OBOBDB

OBn

二、矩阵

AmO

?

CA

BO

?

O

A

BD

?(?1)mnAB

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的结合律

?二项式定理--例3.7?

(2) 方阵的幂的求解?矩阵?列?行--例3.8、例3.38

?可对角化??例5.9?

?(AT)T?A?TTT?(A?B)?A?B

(3) 转置的性质：? TT

(kA)?kA?

TTT??(AB)?BA?|A|?|AT|;?n

(4) 方阵的行列式：?|kA|?k|A|;

?|AB|?|A||B|.?

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14) 2、初等变换及初等矩阵

(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)

ri?k

??A???B?Em[i(k)]A?B;???ri+lrj初等行变换?B?Em[i?j(l)]A?B;??A?????ri?rj

A????B?Em[i,j]A?B;???

?ci?k

?A????C?AEn[i(k)]?C;?

???cj+lci

初等列变换A????C?AEn[i?j(l)]?C;??

?ci?cj?A????C?AEn[i,j]?C.???

(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即

1

E?i(k)??E??i()??;E?i?j(l)??E?i?j(?l)?;

?1

?1

E?i,j??E?i,j?.

3、可逆矩阵

?1

?|A?1|?|A|?1??1?1

(A)?A??

(1) 定义、性质?(AT)?1?(A?1)T

?(kA)?1?k?1A?1?

?1?1?1

??(AB)?BA

?A?A?AA??|A|E??n?1

(2) 伴随矩阵 ?|A|?|A|

?r(A)与r(A?)的关系(书111页38题)?

(3) 判定：A可逆?|A|?0

?A??1

?伴随矩阵法:A?A??

(4) 逆矩阵的求法 ?AB?E及运算律(命题3.7)

?行

?E,A?1?????初等变换法:?A,E???

??

(5) 分块矩阵的逆

?A?1?AO?

?OB??????O

?1

O?

,?1?B??O?OA?

???1?BO?

???A

?1

B?1?

?. O?

(6) 矩阵方程的求解：AX?C，其中A可逆. 法1 X?AC.

初等行变换

法2 [A,C]?????[En,X]?X?A?1C.

?1

4、矩阵的秩与矩阵的相抵

(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)

① 0?r(A)?min{m,n}；

② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ③ r(kA)?r(A),k?0; ④ r(AT)?r(A)；

?AO?⑤ r???r(A)?r(B)；

OB??

⑥ r(A?B)?r(A)?r(B)；

⑦ r(A)?r(B)?n?r(AB)?r(A)(或r(B))； 若AB?O，则r(A)+r(B)?n，其中A?P⑧ 设A?R

m?n

m?n

，B?P

n?s

.

，则r(AA)?r(AA)=r(A).

TT

(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)

初等变换

A?????R(行阶梯形矩阵)，

则r(A)?r(R)?R的非零行的个数.

(3) 矩阵的相抵(等价)

① A?B?r(A)?r(B)??可逆P,Q,使得PAQ?B. ② r(PAQ)?r(PA)?r(AQ)?r(A)，其中P,Q可逆. ③ r(A)?r?PAQ??

?Er

?OO??Er

或A?P?OO???O?

Q. ?O?

三、线性空间

1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)

?定义--转化为齐次线性方程组的求解

?

?秩--矩阵、向量组的秩(定理4.1,定理4.4,命题4.5-4.6)

(1) 证明方法--?

?坐标化方法--定理4.14??基本结论

(2) 基本结论

判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）

充要：?1,?2,充分：?1,?2,

,?s线性相关?其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

?某一个部分向量组线性相关?

,?s线性相关??向量的个数s大于向量分量的个数

??,?,,?被个数少于s的向量组线性表示

s?12

判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论） 2、等价向量组

(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅰ) ?r(Ⅱ). (2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则r(Ⅰ)?r(Ⅱ). 3、子空间的验证

(1) 非空、加法和数量乘法的封闭； (2) 命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.35

4、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数 (1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组. (2) 对于W?L(?1,?2,与基就是向量组?1,?2,

,?s)，则dimW?r(?1,?2,,?s)， 即生成子空间的维数

,?s的秩与极大无关组.

?xn?n在基?1,?2,

,?n下的坐标?x1,x2,

,xn?.

T

5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式 坐标：??x1?1?x2?2?基变换公式：(?1,?2,坐标变换公式：

,?n)?(?1,?2,,?n)S

(?1,?2,,?n)?(?1,?2,

,?n)S??

??(?1,?2,,?n)X??X?SY或Y?S?1X ??(?1,?2,,?n)Y??

四、线性方程组(含参量、不含参量)

1、解的情况

?r(A)?r(A),无解?

(1) AX??????n,唯一解

?r(A)?r(A)??n,无穷多解

??

?A?0,唯一解?

若A是方阵，则AX?????r(A)?r(A),无穷多解

?A?0?

?r(A)?r(A),无解?

(2) 齐次线性方程组AX?0有非零解?r(A)?n.

若A是方阵，则齐次线性方程组AX?0有非零解?A?0. 2、解的结构

齐次AX?0：

(1) 解空间N(A)、dimN(A)?n?r(A)?基础解系所含向量的个数

(2) 基础解系不唯一，n?r(A)的线性无关的解均可作为AX?0的一个基础解系. (2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合 非齐次AX??： (1) 非-非=齐

(2) 结构式：通解=特解?导出组AX?0的通解

五、线性变换

1、线性变换的验证 (定义5.4)

2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.8

σ(?1,?2,

,?n)A?

?

??(?1,?2,,?n)X??Y?AX σ(?)?(?1,?2,,?n)Y??

,?n)?(?1,?2,

3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理5.9

,?n)A?

?

σ(?1,?2,,?n)?(?1,?2,,?n)B??B?S?1AS (?1,?2,,?n)?(?1,?2,,?n)S??

σ(?1,?2,,?n)?(?1,?2,

六、内积空间Rn

1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关) 2、施密特正交化 3、正交矩阵 (1) 定义、性质；

(2) n阶实矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是R的一个标准正交基. (命题6.2)

n

七、矩阵的相似对角形

1、特征值和特征向量的定义、性质 (1) tr(A)??1??2?

T

??n;A??1?2?n；

(2) A与A具有相同的特征值(特征向量未必相同)； (3)

W?(A)?Wf(?)(f(A))；W?(A)?W??1(A?1).

(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).

2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同) 相似的判定：若A与B可对角化(实对称矩阵)，且A与B具有相同的特征值，则A与

B相似.

若A与B相似，则矩阵多项式f(A)与f(B)也相似.

3、矩阵的相似对角化

A可对角化?A有n个线性无关的特征向量

?数域P内有n个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数

(充分条件) A有n个互不相同的特征值?A可对角化 4、实对称矩阵

(1) 特征值：n阶实对称矩阵有n个实特征值.

(2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).

(4) 若A与B均为实对称矩阵，则A与B正交相似(相似)?A与B具有相同的特征值.(正交相似?既相似，又合同)

八、二次型

1、二次型的矩阵及秩(f???A(对称)) 2、矩阵的合同：合同必相抵； 正交相似?既相似，又合同

实对称矩阵A,B合同?A,B的正惯性指数与秩相同

3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换) 4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差) 5、正定二次型 (1) 判定：① 定义；

② A的特征值都大于零(A的正惯性指数等于n)；

③ A与E合同(与正定矩阵A合同的实对称矩阵B正定)； ④ 存在可逆矩阵S，使得A?SS； ⑤ A的所有顺序主子式都大于零

(2) 必要条件：(i)aii?0,i?1,2,

T

1?1

,n；(ii)|A|?0

第二篇：线性代数完美总结版

《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)

按行展开：A?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin,i?1,2,?,n

按列展开：A?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj,j?1,2,?,n 定理2.4 ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,i?j；

a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0,i?j.

3、行列式的性质 (1) |A|?|A|.

(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即

T

?1,?,?j??j,?,?n??1,?,?j,?,?n??1,?,?j,?,?n.

(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零. (3) 初等变换性质

1?ri?k

A????B?A?B;或ci?k?k??ri+lrjA?????B?A?B; ?或cj+lci?ri?rj

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4、行列式计算：三角化法(性质)；

降阶法(性质+展开定理)； 范德蒙德、三对角行列式的结论.

5、分块矩阵的行列式

AOOOBn

B

?

ACO?C

B

?A

AOD?OB

B

?AB AD

?(?1)mnAB

AmO

BO

二、矩阵

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的结合律

?二项式定理--例3.7

?

(2) 方阵的幂的求解?矩阵?列?行--例3.8、例3.38

?可对角化??例5.9?

?(AT)T?A?TTT?(A?B)?A?B

(3) 转置的性质：? TT

(kA)?kA?

TTT??(AB)?BA?|A|?|AT|;?

(4) 方阵的行列式：?|kA|?kn|A|;

?|AB|?|A||B|.?

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14) 2、初等变换及初等矩阵

(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)

ri?k

??A???B?Em[i(k)]A?B;???ri+lrj初等行变换?B?Em[i?j(l)]A?B;??A?????ri?rj

A????B?Em[i,j]A?B;???

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???cj+lci

初等列变换A????C?AEn[i?j(l)]?C;??

?ci?cj?A????C?AEn[i,j]?C.???

(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即

1

E?i(k)??E??i()??;E?i?j(l)??E?i?j(?l)?;

?1

?1

E?i,j??E?i,j?.

3、可逆矩阵

?1

?|A?1|?|A|?1??1?1

(A)?A??

(1) 定义、性质?(AT)?1?(A?1)T

?(kA)?1?k?1A?1?

?1?1?1

??(AB)?BA

?A?A?AA??|A|E?

(2) 伴随矩阵 ?|A?|?|A|n?1

?r(A)与r(A?)的关系(书111页38题)?

(3) 判定：A可逆?|A|?0

?A??1

?伴随矩阵法:A?A??

(4) 逆矩阵的求法 ?AB?E及运算律(命题3.7)

?行?1

??初等变换法:A,E???E,A?????

??

(5) 分块矩阵的逆

?A?1?AO?

?OB??????O

?1

O?

,?1?B??O?OA?

???1?BO?

???A

?1

B?1?

?. O?

(6) 矩阵方程的求解：AX?C，其中A可逆. 法1 X?AC.

?1

?[En,X]?X?AC. 法2 [A,C]????

4、矩阵的秩与矩阵的相抵

(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)

① 0?r(A)?min{m,n}；

② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ③ r(kA)?r(A),k?0; ④ r(A)?r(A)；

T

初等行变换?1

?AO?

⑤ r???r(A)?r(B)；

OB??

⑥ r(A?B)?r(A)?r(B)；

⑦ r(A)?r(B)?n?r(AB)?r(A)(或r(B))；

若AB?O，则r(A)+r(B)?n，其中A?Pm?n，B?Pn?s. ⑧ 设A?R

m?n

，则r(AA)?r(AA)=r(A).

TT

(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)

初等变换

A?????R(行阶梯形矩阵)，

则r(A)?r(R)?R的非零行的个数.

(3) 矩阵的相抵(等价)

① A?B?r(A)?r(B)??可逆P,Q,使得PAQ?B. ② r(PAQ)?r(PA)?r(AQ)?r(A)，其中P,Q可逆. ③ r(A)?r?PAQ??

?Er

?OO??Er

A?P或?OO???O?

Q. O??

三、线性空间

1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)

?定义--转化为齐次线性方程组的求解

?

?秩--矩阵、向量组的秩(定理4.1,定理4.4,命题4.5-4.6)

(1) 证明方法--?

?坐标化方法--定理4.14??基本结论

(2) 基本结论

判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）

充要：?1,?2,?,?s线性相关?其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

?某一个部分向量组线性相关?

充分：?1,?2,?,?s线性相关??向量的个数s大于向量分量的个数

??,?,?,?被个数少于s的向量组线性表示

s?12

判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论） 2、等价向量组

(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅰ) ?r(Ⅱ). (2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则r(Ⅰ)?r(Ⅱ). 3、子空间的验证

(1) 非空、加法和数量乘法的封闭； (2) 命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.35

4、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数 (1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.

(2) 对于W?L(?1,?2,?,?s)，则dimW?r(?1,?2,?,?s)， 即生成子空间的维数 与基就是向量组?1,?2,?,?s的秩与极大无关组.

5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式

坐标：??x1?1?x2?2???xn?n在基?1,?2,?,?n下的坐标?x1,x2,?,xn?. 基变换公式：(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)S 坐标变换公式：

T

(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)S??

??(?1,?2,?,?n)X??X?SY或Y?S?1X ??(?1,?2,?,?n)Y??

四、线性方程组(含参量、不含参量)

1、解的情况

?),无解?r(A)?r(A?

(1) AX??????n,唯一解 ?

?r(A)?r(A)??n,无穷多解

??

?A?0,唯一解??),无穷多解 若A是方阵，则AX?????r(A)?r(A?A?0??

?r(A)?r(A),无解?

(2) 齐次线性方程组AX?0有非零解?r(A)?n.

若A是方阵，则齐次线性方程组AX?0有非零解?A?0. 2、解的结构

齐次AX?0：

(1) 解空间N(A)、dimN(A)?n?r(A)?基础解系所含向量的个数

(2) 基础解系不唯一，n?r(A)的线性无关的解均可作为AX?0的一个基础解系. (2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合 非齐次AX??： (1) 非-非=齐

(2) 结构式：通解=特解?导出组AX?0的通解

五、线性变换

1、线性变换的验证 (定义5.4)

2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.8

σ(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)A?

?

??(?1,?2,?,?n)X??Y?AX σ(?)?(?1,?2,?,?n)Y??

3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理5.9

σ(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)A?

?

σ(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)B??B?S?1AS (?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)S??

六、内积空间Rn

1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关) 2、施密特正交化 3、正交矩阵 (1) 定义、性质；

(2) n阶实矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是R的一个标准正交基. (命题6.2)

n

七、矩阵的相似对角形

1、特征值和特征向量的定义、性质 (1) tr(A)??1??2????n;

T

A??1?2??n；

(2) A与A具有相同的特征值(特征向量未必相同)； (3)

W?(A)?Wf(?)(f(A))；W?(A)?W??1(A?1).

(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).

2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同) 相似的判定：若A与B可对角化(实对称矩阵)，且A与B具有相同的特征值，则A与

B相似.

若A与B相似，则矩阵多项式f(A)与f(B)也相似.

3、矩阵的相似对角化

A可对角化?A有n个线性无关的特征向量

?数域P内有n个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数

(充分条件) A有n个互不相同的特征值?A可对角化 4、实对称矩阵

(1) 特征值：n阶实对称矩阵有n个实特征值.

(2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).

(4) 若A与B均为实对称矩阵，则A与B正交相似(相似)?A与B具有相同的特征值.(正交相似?既相似，又合同)

八、二次型

1、二次型的矩阵及秩(f???A(对称)) 2、矩阵的合同：合同必相抵； 正交相似?既相似，又合同

实对称矩阵A,B合同?A,B的正惯性指数与秩相同

3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换) 4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差) 5、正定二次型 (1) 判定：① 定义；

② A的特征值都大于零(A的正惯性指数等于n)；

③ A与E合同(与正定矩阵A合同的实对称矩阵B正定)； ④ 存在可逆矩阵S，使得A?SS； ⑤ A的所有顺序主子式都大于零

(2) 必要条件：(i)aii?0,i?1,2,?,n；(ii)|A|?0

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1?1