解决排列组合问题的常用方法

考仕网（www.exammm.com）

在每年的公务员考试中，听到抱怨最多的就是数量关系模块，有些人面对难题毫无头绪，干脆放弃；也有些人耗费了大量时间，最终也还是没有做对。为此，考仕网（www.exammm.com ）名师彻底解决排列组合问题。

1.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

例1：六人站成一排，求 甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （）

A.504 B.520 C.480 D.532

答案：A

分析：

法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有P(5.5)种站法。

第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4种选择即C(4.1)，还剩5个位置，甲不能再排头所以只有4种选择C(4.1)，剩下的全排列，即有C(4.1)C(4.1)A(4.4)种站法。

2.反面考虑法

法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾） P(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4) =504

例2：某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议，其中甲乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有多少种（）

A.84 B.98 C.112 D.140

答案：D

解析：法1:

①甲参加，乙不参加，有C(8.5)=56种

②乙参加，甲不参加，有C(8.5)=56种

③甲，乙都不参加，有C(8.6)=28种

考仕网（www.exammm.com）

则邀请的不同方法有56+56+28=140种

法2:从反面考虑，甲乙都参加，有C(8.4)=70种

C(10.6) -C(8.4)=140

3.捆绑法

例3：A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。

A.120 B.72 C.48 D24

答案：C

24A?2A?2424解析:将A、B捆绑一起，与C、D、E一起排，共有种排法，A、B又有

种排法，共有24?2?48种排法。

例4：（河北招警20xx-32）从单词“equation”选5个不同的字母排成一排，且含有qu（其中qu相连且顺序不变），共有（）种排法。

A.120 B.480 C.720 D840

答案：B

解析：①从剩下的6个字母里选3个，有C(6，3)=20，

②再将这3个字母和qu全排列A(4.4)=24

所以共有20×24=480种排法

4.错位排列

错位排列问题：有n封信和n个信封，每封信都不装在自己的信封里，

比如： 2封信就有1种装法；

3封信的具体装法 1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法；

随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。

应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式，请牢记：

设这n个数的错位排列数为Dn，当n?1,2,3,4,5时，D1?0，D2?1，

考仕网（www.exammm.com）

D3?2，D4?9，D5?44?，经过枚举我们可以得到：Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)

例5：甲乙丙丁四个同学站成一队，从左到右数，如果甲不排在第一个位置，乙不排在第二个位置，丙不排在第三个位置，丁不排在第四个位置，那不同的排法有几种？

A.9 B.11 C.12 D24

答案：A

5.间接计数法.(排除法)

例6： 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形

?

A.79 B.71 C72 D76

答案：D

分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

所求问题的方法数=

任意三个点的组合数-

共线三点的方法数，C(9.3)-8

例7：正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。

6.分配插板

什么时候使用插板法呢？有两个前提：1）相同的东西进行分配；2)每人至少分一个；

例8：（河南政法20xxA-41）把9个苹果分给5 个人，每人至少分一个苹果，那么不同的分法有多少种？（）

A.70 B.40 C.50 D60

考仕网（www.exammm.com）

答案：A

分析: 9个苹果排成一排，形成8个空，插4个挡板，就可以把这9个苹果分成5份，并且每份至少1个，C84?70

例9：10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七

7个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C9 ?36种。

例10：５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？ 错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.

错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.

正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有

和种，再分到三个班里，共有＝１５０种.

【点评】 类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.

7.等价转换

当考试题目和实际问题比较接近时。我们一定要将其转换成我们呢熟悉的等价数学模型

例11：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,的6只路灯，为了节约用电，现要求把其中的两只灯关掉，但不能关掉相邻的两只，也不关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有几种？（）

A.2 B.3 C.4 D5

答案：B

考仕网（www.exammm.com）

分析：等价转换，假设有4个白球排成一排（中间3个空，不包括端点2个空），将2个黑球插入到白球构成的空中，最后得到的6个球就相当于6只路灯，白球

2代表亮的，黑球代表关掉的C3?3.

8.分组法

例12. 6本不同的书

(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?

(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？

(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？

(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?

(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

分析

(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? C(6.2)C(4.2)

(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ C(6.2)C(4.2)/P(3.3)

(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ C(6.3)C(3.2)

(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.2)

(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

C(6.3)C(3.2)P(3.3)

第二篇：例谈排列组合问题的常用解法

例谈排列组合问题的常用解法

作者：谷佳文

来源：《中学教学参考·理科版》20xx年第08期

在高中数学教学中，排列组合是比较重要的部分，但是排列组合这部分的习题不容易找到规律，如果学生不够仔细，很容易出现遗漏的现象，这部分内容的学习对学生来说一直是一个难点.所以教师应该在教学的过程中总结一些比较适用的解题方法，教会学生遇到不同类型的排列组合题目应该怎样思考，帮助学生学好排列组合方面的内容.

一、 解排列组合问题应注意的问题

在进行排列组合这部分问题的求解过程中，教师应该提醒学生注意一些在解题中经常容易出现的问题.

首先，要让学生先弄明白是要分类计算还是要分步计算.如果采用分类计算方式，那么所有类别之间必须是相互独立没有任何交集的，否则不能采用分类计数法进行解题.而对于分步计数的解题方法来说，每个步骤之间应该是互不干扰的，并且要求学生必须严格遵守解题的步骤，一步一步认真地进行计算，这样才能避免解题中的错误.

其次，在解决排列组合问题时，大多是先组合后排列，先对题目中的对象进行分类组合，然后再分步进行排列的计算，这样一步一步地进行，层次鲜明，不容易遗漏.

最后，教师应该让学生明确排列组合的概念和含义，让学生明确排列组合的公式是进行解题的基础，只有掌握好基础的问题，才能在解题的时候做到快速准确.

二、排列组合问题的常用解法

1. 捆绑法.

捆绑法就是将一些元素当成一个整体，然后进行排列组合，这是数学中整体思想的一个良好体现.

例如：现有A、B、C、D、E五名同学，让这五名同学排成一排，如果规定A与B必须相邻，且B在A的右边，那么请问有多少种不同的排法.

解析：本题中对A与B两个同学的位置有要求，那么我们先将这两个同学看成一个整体，然后与其他三名同学进行排列，这样就很容易得出相应的结果.这就是捆绑法在习题中的运用，可以帮助学生快速准确地进行解题.

2.特殊元素优先法.

在排列组合问题中，总会出现一些十分特殊的元素，对于这一类排列组合问题，我们应该先解决特殊的部分，当特殊的元素确定之后，再进行一般部分的求解.

例如：现在1、2、3、4、5、6这六个数字中任取四个数字组成没有重复数字的四位数，求满足下列条件的四位数各有多少个.（1）数字1不排在个位和千位；（2）数字1不在个位，数字6不在千位.

解析：首先我们先看第一小问，这一问比较简单，由于数字1不能在个位和千位，所以个位和千位分别有五种选法，然后运用乘法原理可知答案为240.而第二问就要用到特殊元素优先法，先将千位和个位确定好，然后再确定十位和百位，最后结果为252.

3.插空法.

插空法在排列组合中的应用，大多是用于解决某几个元素不相邻的问题，对于这类问题，我们就可以先将不相邻的元素进行排列，然后将其他元素插入空中，让问题变得更容易.

例如：一台晚会，原本有八个节目，但是在晚会开始之前，要临时在成绩单中加入两个节目，而且要保持原来的节目顺序不发生变化，请问有多少种排列方法.

解析：这是一道典型的运用插空法的排列组合问题，原有八个节目，那么就相当于有九个空，当插入一个节目后，就变成有十个空，第二个节目可以任意插在这十个空中，这样就很容易得出最后的答案了.

4.插板法.

在排列组合中经常会遇到一些指标的分配、求不定方程的整数解的个数的问题，在这类问题中我们可以运用插入隔板的方法进行解题.

例如：某学校要组建一支篮球队，需要选拔十二名队员，这个学校有八个班级，要求每个班级至少选出一人加入篮球队，那么请问有多少种选拔方法？

解析：这道题的实质就是将十二个名额分给八个班级，每个班级至少得到一个名额，那么十二个名额就相当于有十一个空，需要在这十一个空中插入七块木板，木板有多少种插法，名额就有多少种分配方法.

5.间接法.

在排列组合问题中经常见到“至多”“恰好”这一类的字眼，对于这样的问题，如果直接根据题意进行求解，比较复杂，那么就可以从相反的方面进行解题，然后再从总体中减去这一部分，就可以得出相应的结果.

例如：某村要从村里的十名大学生中选出三人担任村长助理，已知甲、乙至少有一人当选，而丙没有入选，那么请问有多少种不同的选法.

解析：由于题目中说明丙没有入选，那么这道题就可以转化成在九名大学生中选择三人，而甲乙至少有一人入选，如果直接计算，则要考虑的方面较多，那么我们就可以采用间接方法计算，先算出甲乙都没有入选有多少种选法，以及如果没有任何要求，有多少种选法，用后者减去前者，就是本题的答案.

三、结语

虽然排列组合问题是学生学习生活中的一个难点，但是只要教师在教学过程中能够善于总结解题方法，并让学生学会这些解题技巧，那么相信排列组合就会变得相对简单，不会让学生感到太复杂.

（责任编辑 黄春香）

第三篇：排列组合方法总结

如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵

排列组合方法总结(新导航用)

1、【特殊元素、特殊位置】优先法

在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。 例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ）

解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的

11元素占了这两个位置，先安排末位共有C3；然后排首位共计有C4；最后排其他位置共计有

A4；由分步计数原理得C3C4A4?288.

3113

2、【相邻问题】捆绑法

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例：A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）

4

解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24种，

3、【相离问题】插空法

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ） 解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种

52

数是A5A6?3600种

5

2

4、【选排问题】先选后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有C4种，再排：

323

在四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4?144种.

2

5、【相同元素分配问题】隔板法

将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:Cn?1。

例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

m?1

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为为C96?84种

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以，避免重复计数。 An，n为均分的组数）

例：6本不同的书平均分成3组，每堆2本的分法数有（ ）种

解析：分三步取书得C62C44C22中分法，但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数A33，即共有

C6C4C2

A

3

32

4

2

n

7、【有序分配问题】逐分法

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组

例：将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分

配方案有( )种

A、CCC B、3CCC C、CCA D、

4

12

48

44

412

48

44

412

48

33

C12C8C4

A

33

444

答案：A

8、【可重复的排列问题】求幂法（分步）

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例：把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种

6

n

9、【“至少”“至多”问题等用】排除法（也可用分类列举法）

例：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，

则不同的取法共有（ ）种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，

333

故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C

解析2：正向思考，至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；

112

甲型2台乙型1台；故不同的取法有C52C4?C5C4?70台,选C.

10、【多元问题】分类列举法

例：（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位

数字的共有( )

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有

A5,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B

5

1

1

3

1

1

3

1

1

3

1

3

（2）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，

3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为：

C5?C5?C5?C5?C5?C5?32个.

1

2

3

4

5