排列组合问题整理归纳与习题

排列组合

1.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并

为一个元素,再与其它元素一起作排列要注意合并元素内部也必须排列.

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 288

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置

2.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素

合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 复合元素，再

与其它元素进行排列同时对相邻元素内部进行自排由分步计数原理可得共有488

3.三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场

顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 5！ 种，第二步将4舞蹈插入第一步排

好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 A64 不同的方法 相乘可得

4.四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起

进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数

是：7！/3!

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个

位置甲乙丙共有A74 种坐法，则共有1 种 方法

5.允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安

排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m^n

种

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法把第二名实习生分配

到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有 7^6 种不同的排法

6.一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.甲乙个特殊元素有A42种,

再排后4个位置上的特殊元素有__A41___种,其余的5人在5个位置

上任意排列有_5！___种,则共有_________种.

7.八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装

法

.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复

合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.根据分步计数原理装球的方法共有C52*4!

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之

间,这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有____种排法，再排小集团内部共有_______

种排法，由分步计数原理共有___2!2!2!____种排法.

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

9将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，

插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为

.十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档

中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应

一种分法共有___C96________种分法。

10.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为

ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而这

些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 种分法。

11.十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2

人伴舞的节目,有多少选派方法?

10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理共有_种

12.一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队

模型，装盒模型等，可使问题直观解决

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的

2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯

有________ 种

13.

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,

要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C52___种还剩下3球3盒序号不能对应，操作法，

如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法

14.对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状

图会收到意想不到的结果 十五.实际操作穷举策略

例18. 25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种？

将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉， 如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有___________种。再从5×5方队选出3×3 方队便可解决问题从5×5方队中选取3行3列有_____选法所以从5×5方队选不在同一行也不在同一列的3人有

选法。 练习题

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则

不同的着色方法有__72__种

3.有A、B、C、D四人经常通电话交流信息，已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条信息，那么第一个电话是A打出的情况共有(36 )

解析：第一次电话从A打出，打给B、C、D之一有C31种可能，打第二次电可能从已知信息的两人之一打出有C21种可能，此时接收电话者是剩余二人中的一个有C21种可能，显然通知最后一个人时有C31种方法，故共有C31·C21·C21·C31＝36(种)．

4.例1.已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止.

(1)若恰在第2次测试时,才测试到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试方法?

(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法? 解:(1)若恰在第2次测试时,才测到第一件次品,

第8次才找到最后一件次品,若是不放回的逐个抽取测试.

第2次测到第一件次品有4种抽法;

第8次测到最后一件次品有3种抽法;

第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A5种抽法;

剩余4次抽到的是正品，共有A4A5A6＝86 400(种)抽法.

(2)检测4次可测出4件次品,不同的测试方法有A44种,

1检测5次可测出4件次品,不同的测试方法有4A34A6种; 2242

检测6次测出4件次品或6件正品,

26则不同的测试方法共有4A35A6＋A6种.

由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为

A4＋4A4A6＋4A5A6＋A6＝8 520.

5.例2.用0，1，2，3, … , 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？

431326

6.【1】5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成_____种不同的币值？(1张不取，即0元0分0角不计在内)

元：0，1，2，3，4，5

角：0，1，2，3，4

分：0，2，4，5，7，9

6×5×6－1＝179

7.(20xx·大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( 10 )

8..（20xx浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）

9.(20xx·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)

10. 4.（20xx安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )

A．C8A3

11.22

次可随意传给相邻的两人之一，若在5次之内传到D，则停止传球；若5次之内传不到D，则传完5次也停止传球，那么从开始到停止，可能出现的不同传法种数是( )

A．24

C．30

Hale 20xx B．26 D．28 B．C8A626 C．C8A6 22 D．C8A522 ．有A、B、C、D、E、F六人依次站在正六边形的六个顶点上传球，从A开始，每

.

第二篇：排列组合方法归纳练习

排列组合问题的方法归纳练习

班级： 姓名：

一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

1． (19xx年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．

2．（20xx年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.

3.某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为____ _

4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

5.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案

6.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个；

7.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有__ ___种；

9.?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成___ __个三角形； 110.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不 432同的着色方法有 种

5

二：相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；

2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有 种？

3.有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．

4.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.）

1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

3一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有 种？

1. 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，

5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)

四：可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.

1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；

五：有序问题组合法

1.学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩xi?{89,90,91,92,93}(i?1,2,3,4)且满足

x1?x2?x3?x4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种；

2.设集合A??1,2,3,4,5,6,7,8?，对任意x?A，有f1)(

的个数是_ ____；

3.离心率等于logp?2()f*3()?f，则映射f:A?Aq(其中1?p?9,1?q?9且p,q?N)的不同形状的的双曲线的个数为_ ____。

六：定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

2.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

3.4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种

八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种；

2.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；

九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后再做）

1. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。

2.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

3.10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？

4.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？

十.（不同物品）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。

1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

2.把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法.

3.把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有 种分法.

4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有 种分法.

5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有 种分法.

6.6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

8.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

9．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

10.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

C12C8C4444

A、种 B、种 C、种 D、种

11.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种；

十一：选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_ _。

2.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

3.9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

十二：标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

1.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

2.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种；

C12C8C44443C12C8C4444C12C8A3443A33

3.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有______ ___种

4.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

十三：多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

1.如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____；

2. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

3.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

十四：圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列： a1,a2,a3?,an;a2,a3,a4,?,an,?;an,a1,?,an?1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，

故认

为相同，n个元素的圆排列数有n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n?1元素全

n

排列.

1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法？

1.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

十五：排除法，部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

2. 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三

张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

3.如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____。

十六：已排好元素中新增元素增位排列法

1.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___ __。

3.如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法；